¿Alguna vez te has preguntado de cuántas formas puedes elegir un equipo, organizar un grupo o seleccionar elementos sin que el orden importe? Los problemas de combinaciones están presentes en nuestra vida cotidiana más de lo que imaginas: desde elegir tus ingredientes favoritos para una pizza hasta determinar las posibles alineaciones de un equipo deportivo.
Muchos estudiantes y profesionales encuentran estos problemas intimidantes al principio, confundiendo combinaciones con permutaciones o sintiendo frustración ante fórmulas aparentemente complejas. Sin embargo, dominar este tema es más accesible de lo que parece cuando se explica paso a paso con ejemplos prácticos y reales.
En este artículo, desmitificaremos los problemas de combinaciones y permutaciones a través de ejercicios resueltos detalladamente.
Aprenderás cuándo aplicar cada concepto, comprenderás las fórmulas fundamentales y, lo más importante, desarrollarás la intuición necesaria para identificar qué método usar en cada situación.
Índice de contenidos
¿Qué es la Combinatoria?
La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia cómo contar, organizar y seleccionar elementos de un conjunto. Nos ayuda a responder preguntas como: ¿De cuántas formas puedo ordenar 5 libros en una estantería? o ¿Cuántos equipos de 3 personas puedo formar con 10 estudiantes?
Antes de entrar en los tipos, es importante entender dos conceptos clave que marcan toda la diferencia:
| Concepto | Pregunta clave | ¿Importa el orden? |
| Permutación | ¿De cuántas formas puedo ordenar estos elementos? | ✅ Sí |
| Combinación | ¿De cuántas formas puedo elegir estos elementos? | ❌ No |
Ejemplo rápido: Si tienes las letras A, B, C:
- AB y BA son permutaciones distintas (el orden importa).
- AB y BA son la misma combinación (solo importa quiénes están, no el orden).
Permutaciones: Tipos y Fórmulas
¿Qué es una Permutación?
Una permutación es una forma de ordenar un conjunto de elementos. Cada vez que cambias el orden, obtienes una permutación diferente.
Tipos de Permutaciones
1. Permutaciones sin repetición (ordinarias)
Se ordenan todos los elementos de un conjunto, sin repetir ninguno.
Fórmula:
P(n) = n!
Donde n es la cantidad total de elementos y n! (factorial de n) significa:
n! = n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1
Ejemplo: ¿De cuántas formas puedes ordenar las letras A, B, C?
P(3) = 3! = 3×2×1 = 6
Las 6 formas son: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
2. Permutaciones parciales (o variaciones sin repetición)
Se ordenan solo algunos elementos del conjunto total.
Fórmula:
Donde:
- n = total de elementos disponibles
- r = cantidad de elementos que se van a ordenar
Ejemplo: ¿De cuántas formas puedes ordenar 2 letras tomadas de A, B, C, D?
Las posibilidades: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC
3. Permutaciones con repetición
Algunos elementos se repiten dentro del conjunto.
Fórmula:
Donde n1, n2, …, nk son las veces que se repite cada elemento.
Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas se forman con las letras de «MAMÁ»? (M aparece 2 veces, A aparece 2 veces)
Las palabras: MAMÁ, MAAM, AMMA, AMAM, AAMMA… (6 formas distintas)
Resumen de Fórmulas de Permutaciones
Combinaciones: Tipos y Métodos de Cálculo
¿Qué es una Combinación?
Una combinación es una forma de seleccionar elementos de un conjunto sin importar el orden. Solo importa quiénes forman el grupo, no cómo están ordenados.
Tipos de Combinaciones
1. Combinaciones sin repetición
Se eligen r elementos de un total de n, sin repetir y sin importar el orden.
Fórmula:
Ejemplo: ¿Cuántos equipos de 3 personas puedes formar con 5 estudiantes (Ana, Bruno, Carlos, Diana, Elena)?
Existen 10 equipos distintos posibles
2. Combinaciones con repetición
Se eligen r elementos de n posibles, pero un mismo elemento puede elegirse más de una vez.
Fórmula:
Ejemplo: En una heladería hay 4 sabores (vainilla, chocolate, fresa, mango). ¿Cuántas combinaciones de 2 bolas puedes pedir si puedes repetir sabor?
Puedes pedir 10 combinaciones distintas (incluyendo 2 bolas del mismo sabor)
Método Paso a Paso para Calcular Combinaciones
- Identifica si el orden importa (si sí → permutación; si no → combinación).
- Determina n (total de elementos) y r (cuántos eliges).
- Decide si hay repetición permitida.
- Aplica la fórmula correspondiente.
- Calcula los factoriales y simplifica.
Problemas de combinaciones y permutaciones
Ejercicio 1. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 amigos en una fila de 5 sillas?
Solución:
El número de maneras en que 5 amigos pueden sentarse en una fila de 5 sillas es igual al número de permutaciones posibles de los 5 amigos.
Esto se calcula como el factorial de 5, es decir, 5!.
La fórmula para el factorial de un número n es:
Por lo tanto, hay 120 maneras diferentes en las que los 5 amigos pueden sentarse en la fila de 5 sillas.
Ejercicio 2. En una carrera hay 8 corredores. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar en los tres primeros puestos (1°, 2° y 3°)?
Solución:
En esta carrera con 8 corredores, el número de formas distintas en que pueden llegar en los tres primeros puestos (1°, 2° y 3°) es igual al número de permutaciones de 3 corredores elegidos de entre los 8.
El número de permutaciones se calcula como:
Hay 336 formas distintas en que los corredores pueden llegar en los tres primeros puestos.
Ejercicio 3. ¿Cuántas palabras diferentes (tengan o no significado) se pueden formar con las letras de la palabra PIANO?
Solución:
La palabra PIANO tiene 5 letras y todas son distintas. El número de palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra PIANO es simplemente el número de permutaciones de 5 letras.
La fórmula para calcular el número de permutaciones de 5 elementos es:
Por lo tanto, se pueden formar 120 palabras diferentes (con o sin significado) con las letras de la palabra PIANO.
Ejercicio 4. ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?
Solución:
La palabra BANANA tiene 6 letras, pero algunas de ellas se repiten. Específicamente:
- La letra A se repite 3 veces.
- La letra N se repite 2 veces.
- La letra B se repite 1 vez.
Para calcular el número de palabras distintas que se pueden formar con estas letras, usamos la fórmula para permutaciones con repeticiones:
Donde:
- 6!6!6! es el número total de maneras de ordenar las 6 letras sin tener en cuenta las repeticiones.
- 3!3!3! es el número de maneras de ordenar las 3 letras A.
- 2!2!2! es el número de maneras de ordenar las 2 letras N.
- 1!1!1! es el número de maneras de ordenar la letra B (pero no afecta ya que es 1).
Ahora, calculamos:
Por lo tanto, el número de palabras distintas es:
Ejercicio 5. ¿De cuántas formas se pueden colocar 6 libros diferentes en un estante si el libro de matemáticas debe estar siempre en el primer lugar?
Solución:
Si el libro de matemáticas debe estar siempre en el primer lugar, entonces ya está fijo en esa posición. Esto significa que solo necesitamos ordenar los otros 5 libros restantes en las otras 5 posiciones.
El número de formas en que se pueden ordenar esos 5 libros es simplemente el número de permutaciones de 5 libros diferentes, lo cual se calcula como:
hay 120 formas diferentes de colocar los 6 libros en el estante, con el libro de matemáticas siempre en el primer lugar.
Ejercicio 6. Un pin de seguridad tiene 4 dígitos (del 0 al 9). ¿Cuántos pines distintos existen si no se puede repetir ningún dígito?
Solución:
Para calcular cuántos pines distintos se pueden formar con 4 dígitos, donde los dígitos no se repiten, seguimos este proceso:
- El primer dígito puede ser cualquiera de los 10 números (0 al 9), por lo que hay 10 opciones.
- El segundo dígito debe ser distinto al primero, por lo que hay 9 opciones.
- El tercer dígito debe ser distinto a los dos anteriores, por lo que hay 8 opciones.
- El cuarto dígito debe ser distinto a los tres anteriores, por lo que hay 7 opciones.
El número total de pines distintos se calcula multiplicando estas opciones:
Existen 5,040 pines distintos si no se puede repetir ningún dígito.
Ejercicio 7. En una clase de 10 estudiantes se desea elegir un grupo de 4 para representar a la escuela. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?
Solución:
Para calcular cuántos grupos diferentes de 4 estudiantes se pueden formar a partir de una clase de 10 estudiantes, usamos el concepto de combinaciones, ya que el orden no importa en la elección del grupo.
La fórmula para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r es:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Calculamos los factoriales:
6! se cancela en el numerador y denominador.
Por lo tanto:
Así que se pueden formar 210 grupos diferentes de 4 estudiantes.
Ejercicio 8. Una pizzería ofrece 8 ingredientes. ¿De cuántas formas se puede pedir una pizza con exactamente 3 ingredientes?
Solución:
Para calcular cuántas formas diferentes se puede pedir una pizza con exactamente 3 ingredientes de entre 8 disponibles, usamos el concepto de combinaciones, ya que el orden de los ingredientes no importa (es decir, no importa si se elige primero un ingrediente y luego otro).
La fórmula para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r es:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Calculamos los factoriales:
5! se cancela en el numerador y denominador.
Por lo tanto:
Hay 56 formas diferentes de pedir una pizza con exactamente 3 ingredientes.
Ejercicio 9. En un torneo de fútbol participan 6 equipos. Si cada equipo juega una vez contra cada otro, ¿cuántos partidos se juegan en total?
Solución:
En un torneo de fútbol en el que participan 6 equipos y cada equipo juega una vez contra cada otro, el número de partidos se puede calcular usando el concepto de combinaciones.
Cada partido involucra la elección de 2 equipos de entre los 6 disponibles. La fórmula para calcular el número de combinaciones de 2 equipos de 6 es:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Por lo tanto:
Así que se juegan 15 partidos en total.
Ejercicio 10. Un equipo de baloncesto tiene 12 jugadores. ¿De cuántas formas se pueden elegir los 5 titulares?
Solución:
Para calcular de cuántas formas se pueden elegir 5 titulares de un equipo de baloncesto con 12 jugadores, usamos el concepto de combinaciones, ya que el orden en el que se elijan los jugadores no importa (es decir, no importa quién sea elegido primero o segundo).
La fórmula para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r es:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Por lo tanto:
Hay 792 formas diferentes de elegir los 5 titulares del equipo.
Ejercicio 11. De un grupo de 7 chicos y 5 chicas se quiere formar un comité de 4 personas. ¿De cuántas formas se puede elegir si el comité debe tener exactamente 2 chicos y 2 chicas?
Solución:
Para esto, utilizamos el concepto de combinaciones:
- Elegir 2 chicos de 7: El número de formas en que se pueden elegir 2 chicos de 7 se calcula con la fórmula de combinaciones:
- Elegir 2 chicas de 5: El número de formas en que se pueden elegir 2 chicas de 5 se calcula de la misma manera:
Ahora, para obtener el total de formas de elegir el comité, multiplicamos las combinaciones de chicos y chicas:
Por lo tanto, se pueden formar 210 comités diferentes con exactamente 2 chicos y 2 chicas.
Ejercicio 12. ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono?
Solución:
Para calcular cuántas diagonales tiene un hexágono, usamos la fórmula general para encontrar el número de diagonales en un polígono de n lados:
Donde n es el número de lados del polígono.
En el caso de un hexágono, n=6, ya que tiene 6 lados. Sustituyendo en la fórmula:
Por lo tanto, un hexágono tiene 9 diagonales.
Ejercicio 13. Una persona tiene 6 camisas y 4 pantalones. ¿Cuántos conjuntos diferentes puede armar eligiendo 2 camisas y 1 pantalón?
Solución:
Para calcular cuántos conjuntos diferentes puede armar una persona eligiendo 2 camisas y 1 pantalón, podemos usar el principio de multiplicación y las combinaciones.
- Elegir 2 camisas de 6: El número de formas en que se pueden elegir 2 camisas de 6 se calcula con la fórmula de combinaciones:
- Elegir 1 pantalón de 4: El número de formas en que se pueden elegir 1 pantalón de 4 es simplemente 4, ya que hay 4 pantalones disponibles.
Ahora, multiplicamos los resultados:
Por lo tanto, la persona puede armar 60 conjuntos diferentes eligiendo 2 camisas y 1 pantalón.
Ejercicio 14. En una librería hay 9 libros diferentes. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 libros para regalar, si uno de ellos (el más caro) siempre debe incluirse?
Solución:
Si uno de los libros (el más caro) debe ser incluido, entonces ya está fijo en la selección de 3 libros. Por lo tanto, el problema se reduce a elegir 2 libros más de los 8 restantes (ya que uno ya está seleccionado).
El número de formas en que se pueden elegir 2 libros de los 8 restantes se calcula con la fórmula de combinaciones:
Por lo tanto, hay 28 formas diferentes de elegir 3 libros para regalar, incluyendo siempre el más caro.
Ejercicio 15. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 sabores de helado de una carta de 10 sabores, si no importa el orden?
Solución:
Para resolver este problema, usamos el concepto de combinaciones, ya que no importa el orden en que se elijan los sabores. La fórmula para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r es:
En este caso, tenemos:
Sustituyendo en la fórmula:
Por lo tanto:
Así que hay 120 maneras diferentes de seleccionar 3 sabores de helado de una carta de 10 sabores.
Ejercicio 16. Un estudiante debe responder 6 preguntas de un examen que tiene 10 preguntas en total. ¿Cuántas formas de elección tiene?
Solución:
El número de formas en que un estudiante puede elegir 6 preguntas de un total de 10 preguntas se calcula utilizando combinaciones, ya que el orden en el que se elijan las preguntas no importa.
La fórmula para calcular las combinaciones es:
Donde:
Sustituyendo en la fórmula:
Por lo tanto:
Así que el estudiante tiene 210 formas diferentes de elegir 6 preguntas de un total de 10.
Ejercicio 17. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 3 premios distintos (1°, 2° y 3° lugar) entre 8 participantes?
Solución:
Para calcular de cuántas maneras se pueden repartir 3 premios distintos (1°, 2° y 3° lugar) entre 8 participantes, usamos el concepto de permutaciones, ya que el orden de los premios importa (el primero, segundo y tercer lugar son distintos).
El número de formas de repartir 3 premios distintos entre 8 participantes es el número de permutaciones de 3 participantes elegidos de entre 8, que se calcula con la fórmula:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Por lo tanto:
Así que hay 336 maneras de repartir 3 premios distintos entre 8 participantes.
Ejercicio 18. En una heladería se ofrecen 5 sabores. ¿De cuántas formas se puede pedir un cono de 2 bolas si se pueden repetir sabores?
Solución:
Si en la heladería se ofrecen 5 sabores y se puede pedir un cono de 2 bolas con la posibilidad de repetir sabores, el problema se resuelve mediante el concepto de combinaciones con repetición.
En este caso, se trata de elegir 2 bolas de helado de 5 sabores, permitiendo que los sabores se repitan. La fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición es:
Donde:
Sustituyendo los valores:
Por lo tanto, hay 15 formas diferentes de pedir un cono de 2 bolas si se pueden repetir los sabores.
Ejercicio 19. Una contraseña se forma con 3 letras distintas (del alfabeto de 27 letras) seguidas de 2 dígitos distintos (del 0 al 9). ¿Cuántas contraseñas distintas existen?
Solución:
Para calcular cuántas contraseñas distintas se pueden formar con 3 letras distintas del alfabeto de 27 letras seguidas de 2 dígitos distintos del 0 al 9, podemos usar el principio de multiplicación.
- Elegir 3 letras distintas de 27: El número de formas de elegir 3 letras de 27, sin que se repitan, es una permutación de 3 letras de 27. Esto se calcula como:
Ya que:
- La primera letra tiene 27 opciones,
- La segunda letra tiene 26 opciones (porque ya se ha elegido una letra),
- La tercera letra tiene 25 opciones (porque ya se han elegido dos letras).
- Elegir 2 dígitos distintos de 10: El número de formas de elegir 2 dígitos distintos de 10 (del 0 al 9) también es una permutación, ya que el orden importa. Esto se calcula como:
Ya que:
- El primer dígito tiene 10 opciones,
- El segundo dígito tiene 9 opciones (porque ya se ha elegido un dígito).
Ahora, multiplicamos las opciones de letras y dígitos:
Calculando el resultado:
Por lo tanto, hay 1,579,500 contraseñas distintas que se pueden formar.
Ejercicio 20. En un aula de 8 alumnos se quieren elegir: un delegado, un subdelegado y un tesorero (cargos diferentes). ¿Cuántas directivas distintas se pueden formar?
Solución:
En este ejercicio, se quiere elegir un delegado, un subdelegado y un tesorero de un aula con 8 alumnos, y los cargos son diferentes. Aquí estamos trabajando con permutaciones ya que el orden de los elegidos importa (cada cargo es distinto).
El número de formas de elegir estas tres personas de entre 8 alumnos es:
- Elegir al delegado: Hay 8 opciones para elegir al delegado.
- Elegir al subdelegado: Después de elegir al delegado, quedan 7 alumnos disponibles, por lo que hay 7 opciones para elegir al subdelegado.
- Elegir al tesorero: Después de elegir al delegado y al subdelegado, quedan 6 alumnos disponibles, por lo que hay 6 opciones para elegir al tesorero.
El número total de formas de elegir estos tres cargos es el producto de estas opciones:
Por lo tanto, hay 336 directivas distintas que se pueden formar.
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