¿Alguna vez te has preguntado por qué al comprar más productos pagas más dinero, o por qué cuantos más trabajadores hay en una obra, menos tiempo tarda en terminarse? Estas situaciones cotidianas esconden un concepto matemático fundamental: la proporcionalidad.
La proporcionalidad es una de las herramientas más poderosas y aplicadas de las matemáticas. Está presente en nuestras compras diarias, en la cocina cuando ajustamos recetas, en la velocidad de un viaje o en el reparto de tareas laborales.
Comprender sus dos variantes principales —la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa— te permitirá resolver problemas reales con mayor facilidad y confianza.
Dominar este tema no solo es esencial para aprobar exámenes, sino también para desarrollar un pensamiento lógico y analítico que aplica en la vida diaria.
Anímate a poner en práctica y domina el tema revisando ahora mismo los diversos problemas resueltos relacionados con la proporcionalidad que encontrarás a continuación.
Conceptos Básicos de Proporcionalidad
Para entender la proporcionalidad, primero debemos definir dos conceptos clave: la razón y la proporción.
¿Qué es una razón?
Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división. Nos indica cuántas veces una cantidad contiene a otra. Se escribe en forma de fracción o con dos puntos.
Ejemplo: Si en un salón de clases hay 10 niños y 15 niñas, la razón de niños a niñas es de 10 a 15. Esto se escribe como 10/15 o 10:15. Al simplificar, obtenemos 2/3. Por cada 2 niños, hay 3 niñas.
¿Qué es una proporción?
Una proporción es la igualdad entre dos razones. Cuando dos razones tienen el mismo valor, decimos que son proporcionales.
Ejemplo: Las razones 2/3 y 4/6 forman una proporción porque al dividir ambas obtenemos el mismo resultado (0.66). Se lee: «2 es a 3 como 4 es a 6».
Proporcionalidad Directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción; y al disminuir una, la otra también disminuye. Si multiplicas una magnitud por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número.
Fórmula:
Si llamamos x e y a las magnitudes, existe una constante k tal que:
Donde k es la constante de proporcionalidad.
Cómo identificar proporcionalidad directa
| Condición | Ejemplo |
| Al doble de x → doble de y | 2 kg cuestan el doble que 1 kg |
| Al triple de x → triple de y | 3 horas recorro 3 veces más km |
| Al reducir x a la mitad → y a la mitad | Menos horas trabajadas, menos sueldo |
| Cociente y/x = constante k | 10/2 = 5, 20/4 = 5, 30/6 = 5 ✓ |
Proporcionalidad Inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción; y viceversa. Si multiplicas una magnitud por un número, la otra queda dividida por ese mismo número.
Fórmula:
Si llamamos x e y a las magnitudes, existe una constante k tal que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, que en este caso se obtiene multiplicando (no dividiendo) los valores correspondientes.
Cómo identificar proporcionalidad inversa
| Condición | Ejemplo |
| Al doble de x → mitad de y | El doble de obreros tarda la mitad |
| Al triple de x → tercera parte de y | A triple velocidad, el viaje dura 1/3 |
| Al reducir x a la mitad → y se duplica | Menos velocidad → más tiempo de viaje |
| Producto x·y = constante k | 2×6=12, 3×4=12, 4×3=12 |
CONSEJOS PARA IDENTIFICAR EL TIPO DE PROPORCIONALIDAD
| Directa | Inversa |
| A más → Más | A más → Menos |
| A menos → Menos | A menos → Más |
| Ej: Precio y cantidad | Ej: Trabajadores y tiempo |
| Ej: Distancia y tiempo (velocidad constante) | Ej: Velocidad y tiempo (distancia constante) |
30 Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad
Parte 1: ejercicios de proporcionalidad directa
Ejercicio 1
Un automóvil recorre 120 km en 2 horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas, si mantiene la misma velocidad?
Solución
Identificamos: a más horas → más kilómetros. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
2 h ——— 120 km
5 h ——— x
x = (5 × 120) ÷ 2 = 600 ÷ 2
x = 300 km
Respuesta: en 5 horas recorrerá 300 km
Ejercicio 2
Si 5 kg de manzanas cuestan 12 €, ¿cuánto costarán 8 kg de manzanas?
Solución:
| Kg | Precio (€) |
| 5 | 12 |
| 8 | x |
Son magnitudes directamente proporcionales (a más kg, más precio).
Respuesta: 8 kg de manzanas costarán 19,20 €
Ejercicio 3
Un coche consume 7 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 350 km?
Solución:
| km | Litros |
| 100 | 7 |
| 350 | x |
Respuesta: Consumirá 24,5 litros de gasolina
Ejercicio 4
En una fábrica, 8 obreros producen 240 piezas en un día. ¿Cuántas piezas producirán 15 obreros en el mismo tiempo?
Solución
Identificamos: a más obreros → más piezas (misma relación). Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
8 obreros ——— 240 piezas
15 obreros ——— x
x = (15 × 240) ÷ 8 = 3600 ÷ 8
x = 450 piezas
Respuesta: producirán 450 piezas
Ejercicio 5
Un grifo llena 15 litros de agua en 3 minutos. ¿Cuántos litros llenará en 11 minutos?
Solución
Identificamos: a más minutos → más litros. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
3 min ——— 15 litros
11 min ——— x
x = (11 × 15) ÷ 3 = 165 ÷ 3
x = 55 litros
Respuesta: en 11 minutos llenará 55 litros
Ejercicio 6
Si 12 lápices cuestan 4,80 €, ¿cuánto costarán 20 lápices?
Solución:
| Lápices | Precio (€) |
| 12 | 4,80 |
| 20 | x |
Respuesta: 20 lápices costarán 8 €
Ejercicio 7
Una impresora imprime 90 páginas en 6 minutos. ¿En cuántos minutos imprimirá 270 páginas?
Solución:
Identificamos: a más páginas → más tiempo. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
90 páginas ——— 6 min
270 páginas ——— x
x = (270 × 6) ÷ 90 = 1620 ÷ 90
x = 18 minutos
Respuesta: en 18 minutos imprimirá 270 páginas
Ejercicio 8
Para hacer 5 tartas se necesitan 750 g de harina. ¿Cuánta harina se necesitará para hacer 8 tartas?
Solución:
| Tartas | Harina (g) |
| 5 | 750 |
| 8 | x |
Respuesta: Se necesitarán 1200 g de harina
Ejercicio 9
Un estudiante lee 40 páginas en 2 horas. ¿Cuántas páginas leerá en 7 horas al mismo ritmo?
Solución:
Identificamos: a más horas → más páginas leídas. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
2 h ——— 40 páginas
7 h ——— x
x = (7 × 40) ÷ 2 = 280 ÷ 2
x = 140 páginas
Respuesta: en 7 horas leerá 140 páginas
Ejercicio 10
Si 8 metros de tela cuestan 96 €, ¿cuánto costarán 15 metros de la misma tela?
Solución:
| Metros | Precio (€) |
| 8 | 96 |
| 15 | x |
Respuesta: 15 metros costarán 180 €
Ejercicio 11
Una manguera riega 18 m² de jardín en 3 horas. ¿Cuántos metros cuadrados regará en 8 horas?
Solución:
Identificamos: a más horas → más área regada. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
3 h ——— 18 m²
8 h ——— x
x = (8 × 18) ÷ 3 = 144 ÷ 3
x = 48 m²
Respuesta: en 8 horas regará 48 m²
Ejercicio 12
Si 6 litros de gasolina permiten recorrer 72 km, ¿cuántos litros se necesitan para recorrer 120 km?
Solución:
Identificamos: a más km → más litros de gasolina. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
72 km ——— 6 litros
120 km ——— x
x = (120 × 6) ÷ 72 = 720 ÷ 72
x = 10 litros
Respuesta: para recorrer 120 km necesitará 10 litros
Ejercicio 13
Si 6 paquetes de arroz pesan 9 kg, ¿cuánto pesarán 10 paquetes?
Solución:
| Paquetes | Peso (kg) |
| 6 | 9 |
| 10 | x |
Respuesta: 10 paquetes pesarán 15 kg
Ejercicio 14
Una planta crece 9 cm en 3 semanas. ¿Cuánto crecerá en 7 semanas si mantiene el mismo ritmo?
Solución:
Identificamos: a más semanas → mayor crecimiento. Es proporcionalidad DIRECTA.
Planteamos la regla de tres:
3 semanas ——— 9 cm
7 semanas ——— x
x = (7 × 9) ÷ 3 = 63 ÷ 3
x = 21 cm
Respuesta: en 7 semanas crecerá 21 cm
Ejercicio 15
Una máquina envasa 400 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas envasará en 45 minutos?
Solución:
| Minutos | Botellas |
| 20 | 400 |
| 45 | x |
Respuesta: Envasará 900 botellas
Parte 2: ejercicios de proporcionalidad inversa
Ejercicio 16
Si 6 obreros construyen una pared en 10 días, ¿en cuántos días la construirán 15 obreros?
Solución:
Identificamos: a más obreros → menos días. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: n₁ × d₁ = n₂ × d₂
6 × 10 = 15 × x
60 = 15 × x
x = 60 ÷ 15
x = 4 días
Respuesta: 15 obreros construirán en 4 días
Ejercicio 17
Un grifo llena un depósito en 18 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán 3 grifos iguales en llenar el mismo depósito?
Solución:
| Grifos | Horas |
| 1 | 18 |
| 3 | x |
Proporcionalidad inversa (a más grifos, menos tiempo).
Respuesta: Tardarán 6 horas
Ejercicio 18
6 máquinas producen una cantidad de piezas en 10 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán 4 máquinas en producir la misma cantidad?
Solución:
| Máquinas | Horas |
| 6 | 10 |
| 4 | x |
Respuesta: Tardarán 15 horas
Ejercicio 19
Un convoy de camiones transporta una carga en 5 viajes cargando 8 toneladas cada uno. Si cada camión puede llevar 10 toneladas, ¿cuántos viajes se necesitan?
Solución:
Identificamos: a mayor carga por viaje → menos viajes. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: v₁ × c₁ = v₂ × c₂
5 × 8 = x × 10
40 = 10 × x
x = 40 ÷ 10
x = 4 viajes
Respuesta: Se necesitan 4 viajes.
Ejercicio 20
Un ejército tiene provisiones para 200 soldados durante 30 días. Si llegan 100 soldados más, ¿para cuántos días durarán las provisiones?
Solución:
| Soldados | Días |
| 200 | 30 |
| 300 | x |
Respuesta: Durarán 20 días
Ejercicio 21
Un automóvil viajando a 80 km/h tarda 6 horas en llegar a su destino. ¿Cuántas horas tardará si aumenta su velocidad a 120 km/h?
Solución:
Identificamos: a mayor velocidad → menos tiempo. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: v₁ × t₁ = v₂ × t₂
80 × 6 = 120 × x
480 = 120 × x
x = 480 ÷ 120
x = 4 horas
Respuesta: El automóvil tardará 4 horas en llegar a su destino si viaja a 120 km/h.
Ejercicio 22
5 pintores pintan una casa en 8 días. ¿Cuántos días tardarán 10 pintores en pintar la misma casa?
Solución:
| Pintores | Días |
| 5 | 8 |
| 10 | x |
Respuesta: Tardarán 4 días
Ejercicio 23
Una rueda de 30 cm de radio da 200 vueltas por minuto. Si se reemplaza por una rueda de 50 cm de radio, ¿cuántas vueltas por minuto dará?
Solución:
Identificamos: a mayor radio → menos vueltas por minuto. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: r₁ × v₁ = r₂ × v₂
30 × 200 = 50 × x
6000 = 50 × x
x = 6000 ÷ 50
x = 120 vueltas/min
Respuesta: La rueda de 50 cm de radio dará 120 vueltas por minuto
Ejercicio 24
12 alumnos reciben 5 libros cada uno. Si solo hubiera 10 alumnos, ¿cuántos libros recibiría cada uno?
Solución:
| Alumnos | Libros por alumno |
| 12 | 5 |
| 10 | x |
Respuesta: Recibirían 6 libros cada uno
Ejercicio 25
Un ganadero tiene comida para 40 vacas durante 30 días. Si vende 10 vacas, ¿cuántos días le durará la comida con las vacas restantes?
Solución:
Identificamos: a menos vacas → más días dura la comida. Es proporcionalidad INVERSA.
Quedan 40 – 10 = 30 vacas.
Usamos el producto constante: v₁ × d₁ = v₂ × d₂
40 × 30 = 30 × x
1200 = 30 × x
x = 1200 ÷ 30 = 40 días
Respuesta: La comida durará 40 días para las 30 vacas.
Ejercicio 26
Un depósito se llena en 24 horas con 2 grifos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse con 6 grifos iguales?
Solución:
| Grifos | Horas |
| 2 | 24 |
| 6 | x |
Respuesta: Tardará 8 horas
Ejercicio 27
Un engranaje de 20 dientes hace girar a otro de 50 dientes. Si el primero da 150 vueltas, ¿cuántas vueltas da el segundo?
Solución:
En los engranajes, el número de vueltas es inversamente proporcional al número de dientes.
Esto significa que:
vueltas1 × dientes1 = vueltas2 × dientes2
Datos
- Engranaje 1: 20 dientes
- Engranaje 2: 50 dientes
- Vueltas del primero: 150
Cálculo
Respuesta: El segundo engranaje dará 60 vueltas.
Ejercicio 28
Para pintar una casa, 4 pintores tardan 18 días. ¿Cuántos días tardarán 9 pintores?
Solución:
Identificamos: a más pintores → menos días. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: p₁ × d₁ = p₂ × d₂
4 × 18 = 9 × x
72 = 9 × x
x = 72 ÷ 9
x = 8 días
Respuesta: 9 pintores tardarán 8 días en pintar la casa.
Ejercicio 29
Un autobús hace un viaje en 4 horas a 90 km/h. ¿A qué velocidad debe ir para hacer el mismo viaje en 3 horas?
Solución:
| Velocidad (km/h) | Tiempo (horas) |
| 90 | 4 |
| x | 3 |
Respuesta: Debe ir a 120 km/h
Ejercicio 30
Tres costureras hacen 90 vestidos en 10 días. ¿Cuántas costureras se necesitan para hacer los 90 vestidos en 6 días?
Solución:
Identificamos: menos días disponibles → más costureras necesarias. Es proporcionalidad INVERSA.
Usamos el producto constante: c₁ × d₁ = c₂ × d₂
3 × 10 = x × 6
30 = 6 × x
x = 30 ÷ 6
x = 5 costureras
Respuesta: Se necesitan 5 costureras para hacer los 90 vestidos en 6 días.
Vea También: